Loading...
 

Dodatek: Pole elektryczne na osi pierścienia

Z zasady superpozycji możemy również skorzystać dla ciągłych rozkładów ładunków. Jako przykład rozpatrzymy jednorodnie naładowany pierścień o promieniu \( R \) i całkowitym ładunku \( Q \) pokazany na Rys. 1. Chcemy obliczyć pole elektryczne na osi pierścienia w odległości \( x \) od jego środka.

: Jednorodnie naładowany pierścień
Rysunek 1: Jednorodnie naładowany pierścień


W pierwszym kroku dzielimy pierścień na elementy o długości \( dl \) i obliczamy pole elektryczne \( dE \) wytwarzane przez taki element. Zgodnie z Rys. 1

(1)
\( {\mathit{dE}_{{x}}=\mathit{dE}\cos\alpha } \)


oraz

(2)
\( {\cos\alpha =\frac{x}{r}} \)


Jeżeli \( \lambda=Q/2\pi R \) jest liniową gęstością ładunku (ilością ładunku na jednostkę długości) to element \( dl \) zawiera ładunek \( dQ=\lambda dl \) i natężenie pola od tego elementu jest równe

(3)
\( {\mathit{dE}=k\frac{\mathit{\lambda dl }}{r^{{2}}}} \)


oraz

(4)
\( {\mathit{dE}_{{x}}=k\frac{\mathit{\lambda dl }}{r^{{2}}}\frac{x}{r}} \)


Pole elektryczne całego pierścienia otrzymujemy zgodnie z zasadą superpozycji, sumując (całkując) pola od wszystkich elementów pierścienia. Zwróćmy uwagę, że składowe pionowe \( dE_{y} \) elementów leżących po przeciwnych stronach pierścienia znoszą się wzajemnie więc

(5)
\( {E=E_{{x}}=\int {\mathit{dE}_{{x}}=}\frac{\mathit{k\lambda x }}{r^{{3}}}\int {\mathit{dl}=}\frac{\mathit{k\lambda x }}{r^{{3}}}(2\mathit{\pi R })=\frac{kxQ}{(x^{{2}}+R^{{2}})^{{\frac{3}{2 }}}}} \)


Zauważmy, że w środku pierścienia \( (x=0) \) \( E=0 \), a w bardzo dużej odległości od pierścienia \( (x>>R) \) pole zmierza do wartości \( E\rightarrow kQ/x^{2} \) takiej jak pole ładunku punktowego w tej odległości.

Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się szczegółami źródła pola. Powyższy przykład pokazuje, że z pomiaru pola elektrycznego nie możemy ustalić jaki jest rozkład ładunków będący źródłem tego pola (ładunek punktowy czy odległy naładowany pierścień).


Ostatnio zmieniona Poniedziałek 21 z Listopad, 2022 10:49:26 UTC Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.